Kahden kirjekuoren ongelma

0,5*(-100+50)+0,5*(-100+200)=+25. Tämä siis vaihtamisen EV. Koko pelin EV on 0,5*(50)+0,5*(200)=125 e eli 100+25. Peli on kaksivaiheinen.aina kannattaa vaihtaa jos on riskineutraali.

Sinulla on virhe vaihtanmisen ev-laskussa, koska et vähennä datasta joka sinulla jo on

Käytin esimerkkilukuja, mutta toki ne voi korvata yleisillä symboleilla. Pelin odotusarvo on kuitenkin odotusarvo ennen kuin pelaaminen aloitetaan, ei erikoistapaus pelissä. Pelin odotusarvo: 0,5*x+0,5*2x=1,5x. Tästä nähdään heti, että pelin odotusarvo on 1,5-kertaa pienemmän kirjekuoren sisältö.

Dharma:

"Koko pelin EV on 0,5*(50)+0,5*(200)=125 e"

"Pelin odotusarvo: 0,5*x+0,5*2x=1,5x"

Minusta 200€ on 4x jos x = 50€. En tosin ole VATT:lla töissä. 

Minä en ole töissä lainkaan, itse asiassa kohta kuusi vuotta viimeisestä työpäivästäni.

Jos pienemmässä kirjekuoressa on 50 e, on pelin odotusarvo 0,5*50+0,5*100=75 e.

Jos pienemmässä kirjekuoressa on 100 e, on pelin odotusarvo 0,5*100+0,5*200=150 e.

Nämä pätevät tilanteessa, jossa valintoja ei ole tehty. Esimerkissä: "Oletetaan että ensimmäisestä kirjekuoresta paljastuu vaikka 100 euroa" jolloin pelin odotusarvo ei vastaa edellisiä. Tai voihan se niihin vääntää, mutta tällöin epäsuorasti oletetaan, että avattu kuori ei ole satunnaisesti valittu, vaan on aina avattu se, missä on 100 e.

Siis:

". Koko pelin EV on 0,5*(50)+0,5*(200)=125 "

tarkoittaa: "Pelin jossa avatussa kuoressa on aina 100 e, odotusarvo on 125 e ja vaihtaminen kannattaa aina, koska 125>100". 

Jos vaihtaminen kannattaa, miksi se kannattaisi lopettaa koskaan? Tämä toki vaatii sen, ettei kirjekuoria avattaisi ja sen, että rahasumma ei ole nolla. Mitään uutta informaatiota kuoren avaaminen ei kuitenkaan tuota. Jos saat kirjekuoren, jossa on toisessa X ja toisessa 2X rahaa, niin vaihtamisen EV on 1,25X kuten todettua. Miksi seuraavalla kierroksella vaihtamisen EV olisi jotain muuta kuin 1,25X samalla logiikalla?

Dharma on tässä oikeilla jäljillä, mutta en nyt jaksanut ihan niin tarkkaan lukea oliko kaikki kondiksessa.

Aina tosiaan kannattaa vaihtaa. tuo 50-100-200 esimerkki ei tavallaan käy järkeen, koska sillä että olet jo vetänyt 100:n olet osunut kahteen eri skenaarioon, siihen että pelin EV on joko 75€ (50 ja 100) tai EV on 150€ (100 ja 200). Et voi tietää, kumpi peli on kyseessä, mutta tiedät että se on toinen näistä kahdesta. Tästä syystä myöskään kuorien loputon vaihtelu ei auta mitään, sillä vaihtamalla ei muodostu esim tilannetta että kuorissa olisikin 200 ja 400. Toisessa on väkisinkin 100.

Koska tiedät, että kyseessä on 2 eri peliä, jonka toisen EV on 75€ ja toisen 150€, kannattaa sinun luonnollisesti vaihtaa kuorta, sillä molemmat pelit ovat yhtä todennäkösiä, mutta miinusmerkkisen erotus on vain -25, kun taas positiivisen tuloksen +50, josta seuraa että vaihtamalla saavutetaan +25€. Ensimmäisen kuoren avaamisen jälkeen koko pelin odotusarvo on siis silloin 125€, kuten Dharma jo totesi ensimmäisessä postauksessa.

Saiko kukaan mitään selvää?

Miksi tätä pitää edes pohtia?

Ongelman voi kirjoittaa muotoon:

"Sinulle tarjotaan X euroa, jonka voit ottaa ilman lisäehtoja, tai voit hyväksyä että heitetään lisäksi kolikkoa, jolloin jos voitat saat summan kaksinkertaisena, jos häviät menetät puolet siitä. Otatko X euroa vai kolikonheiton?"

Kuinka monelle on nyt epäselvää mitä pitää tehdä ja miksi?

Jotenkin vaikuttaisi siltä että ongelma on siinä että oletetaan että kuorissa olevat summat ovat täysin satunnaiset ja kaikki summat ovat yhtä todennäköiset. Tällöin tietenkin kannattaisi vaihtaa. Käytännössä kuitenkin 100 euroa on kuoressa aika paljon useammin kuin 1600 euroa, saati 409600 euroa. Kuitenkaan pienissä eroissa 50/100  tai 100/200 tätä todennäköisyyttä ei pysty juuri hahmottamaan. Luulisin että tämän johdosta käytäntö ja teoria poikkeaa toisistaan.

Jos muuta ei ole sanottu, niin tottakai ne ovat satunnaiset. Ei käytännöllä ole muutenkaan mitään tekemistä tämän kanssa, tai ei minulle ainakaan kukaan tule tarjoilemaan rahakuoria. Matemaattisena ongelmana kaikki summat suuruudesta riippumatta ovat ihan yhtä todennäköisiä.

Tätähän on nimenomaan hyvä pohtia, koska pointti ei ole että kannattaako sitä kuorta vaihtaan, vaan miksi ja mihin se perustuu. Satunnaisuus on todella vaikea käsite monelle ja todennäköisyydet ja odotusarvot myös. Tässä tapauksessa tilanteessa hämää se, että voittamisen ja häviämisen tn on yhtä iso, mutta merkitys erisuuri, sillä ½ ja 2x ovat eri etäisyydellä lähtötilanteesta.

Tätä voisi tietysti havainnollistaa vaikka niin, että on olemassa 2 eri peliä. Ensimmäisessä on 10e ja 100e kuoret. Toisessa on 100e ja 1000000000e kuoret. Et tiedä kumpi peli on käynnissä, mutta ne ovat yhtä todennäköisiä ja käynnissä on toinen niistä. Saat käteesi kuoren jossa on 100e. Kannattaako vaihtaa? Veikkaisin että tässä jokainen vaihtaisi sen enempää miettimättä. Kyseessä on kuitenkin täysin sama tilanne.

Wikipediassa on ihan hyvä artikkeli probleemasta:

http://en.wikipedia.org/wiki/Two_envelopes_problem

Youtubessa on hyvä tiivistelmä probleeman merkityksestä:

https://www.youtube.com/watch?v=0kkrLNrenYU

Itse asiassa kyseessä on täysin eri tilanne, mikäli tuolla lauseella "Saat käteesi kuoren, jossa on 100e" tarkoitat, että kuoren sisältö paljastetaan ennen vaihtovalintaa.

OP:n viestissä oli sama oletus. Alkuperäisessä kahden kirjekuoren ongelmassa ei ole.